Barisan Geometri: Menjelajahi Pola yang Menakjubkan
Contoh soal barisan geometri - Pernahkah kamu memperhatikan pola yang menarik pada susunan kelereng dalam permainan catur? Atau mungkin pola yang terbentuk saat kamu melipat kertas origami? Nah, pola-pola tersebut ternyata memiliki keteraturan matematika yang disebut dengan barisan geometri. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia barisan geometri, mulai dari definisinya hingga penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki pola khusus, yaitu setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Sederhananya, barisan geometri adalah barisan yang setiap sukunya selalu dikalikan dengan angka yang sama untuk mendapatkan suku berikutnya.
Contoh konkret barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah pertumbuhan populasi bakteri. Misalnya, jika awalnya ada 1 bakteri dan bakteri tersebut membelah diri menjadi 2 setiap jam, maka jumlah bakteri akan membentuk barisan geometri: 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya.
| Rumus | Contoh |
|---|---|
| Un = a * r^(n-1) | Suku ke-5 dari barisan 2, 4, 8, 16, ... adalah U5 = 2 * 2^(5-1) = 32 |
| Sn = a(1-r^n) / (1-r) | Jumlah 5 suku pertama dari barisan 2, 4, 8, 16, ... adalah S5 = 2(1-2^5) / (1-2) = 62 |
Ciri-ciri Barisan Geometri, Contoh soal barisan geometri
Barisan geometri memiliki ciri khas yang membedakannya dengan jenis barisan lainnya. Ciri khas tersebut adalah:
- Rasio antar suku selalu konstan.
- Suku ke-n diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio.
Untuk menentukan apakah suatu barisan merupakan barisan geometri, kita dapat memeriksa apakah rasio antar suku selalu sama. Jika rasio antar suku selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri. Contohnya, barisan 2, 4, 8, 16, ... merupakan barisan geometri karena rasio antar suku selalu 2 (4/2 = 2, 8/4 = 2, 16/8 = 2). Sebaliknya, barisan 1, 3, 5, 7, ... bukan barisan geometri karena rasio antar suku tidak selalu sama (3/1 = 3, 5/3 ≠ 3, 7/5 ≠ 3).
Rumus Barisan Geometri
Rumus suku ke-n (Un) dalam barisan geometri adalah:
Un = a * r^(n-1)
di mana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah nomor suku
Untuk menentukan nilai suku pertama (a) dan rasio (r) dalam barisan geometri, kita dapat menggunakan dua suku pertama dari barisan tersebut. Misalnya, jika suku pertama adalah 2 dan suku kedua adalah 4, maka rasio (r) adalah 4/2 = 2 dan suku pertama (a) adalah 2.
Contoh soal:
Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, ...!
Penyelesaian:
Dari barisan tersebut, kita dapat menentukan bahwa suku pertama (a) = 3 dan rasio (r) = 6/3 = 2. Untuk menentukan suku ke-7 (U7), kita dapat menggunakan rumus Un = a * r^(n-1). Jadi, U7 = 3 * 2^(7-1) = 3 * 2^6 = 3 * 64 = 192. Jadi, suku ke-7 dari barisan geometri tersebut adalah 192.
Rumus Jumlah Suku Barisan Geometri
Rumus jumlah n suku pertama (Sn) dalam barisan geometri adalah:
Sn = a(1-r^n) / (1-r)
di mana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah jumlah suku
Contoh soal:
Hitunglah jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri 2, 4, 8, 16, ...!
Penyelesaian:
Dari barisan tersebut, kita dapat menentukan bahwa suku pertama (a) = 2 dan rasio (r) = 4/2 = 2. Untuk menghitung jumlah 5 suku pertama (S5), kita dapat menggunakan rumus Sn = a(1-r^n) / (1-r). Jadi, S5 = 2(1-2^5) / (1-2) = 2(1-32) / (-1) = 2(-31) / (-1) = 62. Jadi, jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 62.
Aplikasi Barisan Geometri
Barisan geometri memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti:
| Bidang | Contoh Aplikasi |
|---|---|
| Matematika | Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari barisan geometri |
| Fisika | Menghitung jarak yang ditempuh oleh benda yang bergerak dengan kecepatan konstan |
| Biologi | Menghitung pertumbuhan populasi bakteri dan virus |
| Ekonomi | Menghitung pertumbuhan investasi dan bunga majemuk |
| Komputer | Menghitung waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan algoritma tertentu |
Soal Latihan Barisan Geometri
1. Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, ...!
2. Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari barisan geometri 3, 9, 27, 81, ...!
3. Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 3. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut!
4. Jumlah 4 suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 80. Jika rasio barisan tersebut adalah 2, tentukan suku pertama barisan tersebut!
5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali bola memantul, ketinggiannya menjadi setengah dari ketinggian sebelumnya. Tentukan tinggi pantulan bola pada pantulan ke-4!
Solusi Soal Latihan Barisan Geometri: Contoh Soal Barisan Geometri
1. Dari barisan tersebut, kita dapat menentukan bahwa suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 2/1 = 2. Untuk menentukan suku ke-8 (U8), kita dapat menggunakan rumus Un = a * r^(n-1). Jadi, U8 = 1 * 2^(8-1) = 1 * 2^7 = 1 * 128 = 128. Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah 128.
2. Dari barisan tersebut, kita dapat menentukan bahwa suku pertama (a) = 3 dan rasio (r) = 9/3 = 3. Untuk menghitung jumlah 6 suku pertama (S6), kita dapat menggunakan rumus Sn = a(1-r^n) / (1-r). Jadi, S6 = 3(1-3^6) / (1-3) = 3(1-729) / (-2) = 3(-728) / (-2) = 1092. Jadi, jumlah 6 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 1092.
3. Diketahui suku pertama (a) = 5 dan rasio (r) = 3. Untuk menentukan suku ke-5 (U5), kita dapat menggunakan rumus Un = a * r^(n-1). Jadi, U5 = 5 * 3^(5-1) = 5 * 3^4 = 5 * 81 = 405. Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 405.
4. Diketahui jumlah 4 suku pertama (S4) = 80 dan rasio (r) = 2. Untuk menentukan suku pertama (a), kita dapat menggunakan rumus Sn = a(1-r^n) / (1-r). Jadi, 80 = a(1-2^4) / (1-2) = a(1-16) / (-1) = a(-15) / (-1) = 15a. Maka, a = 80/15 = 16/3. Jadi, suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 16/3.
5. Diketahui tinggi awal (a) = 10 meter dan rasio (r) = 1/2. Untuk menentukan tinggi pantulan bola pada pantulan ke-4 (U4), kita dapat menggunakan rumus Un = a * r^(n-1). Jadi, U4 = 10 * (1/2)^(4-1) = 10 * (1/2)^3 = 10 * (1/8) = 1.25 meter. Jadi, tinggi pantulan bola pada pantulan ke-4 adalah 1.25 meter.
Daftar Pertanyaan Populer
Bagaimana cara menentukan rasio (r) dalam barisan geometri?
Rasio (r) dapat ditentukan dengan membagi suku ke-n dengan suku ke-(n-1). Misalnya, dalam barisan 2, 4, 8, 16, rasio (r) adalah 4/2 = 2.
Apakah semua barisan dengan pola tertentu merupakan barisan geometri?
Tidak. Barisan geometri memiliki ciri khas yaitu setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang sama. Jika pola barisan tidak memenuhi syarat ini, maka barisan tersebut bukan barisan geometri.
Posting Komentar